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Monday, March 1, 2021

Chaosforschung & Chaostheorie

Hier ist die gesamte Arbeit als PDF-Download auf Deutsch und Englisch.

Zusammenfassung

1. Einleitung

Die wichtigste wissenschaftliche Erkenntnis der letzten 500 Jahre ist, dass wir nicht in einem wilkürlichen Universum leben: Nicht passiert einfach so, alles gehorcht den Naturgesetzen, die unser Universum gnadenlos und ohne Ausnahmen regieren. In dieser geordneten und determinierten Welt scheint kein Platz für den Begriff des „Chaos“ zu sein. In der Physik wurde Chaos lange eher als Anhäufung von Messfehlern als als echten physikalisches Prinzip betrachtet. Doch seit den Forschungen von Edward Lorenz in den 1960ern ist diese Vorstellung widerlegt. Chaotische Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass ihr Verhalten sensitiv abhängig von den Anfangsbedingungen ist, eine extrem geringe Änderung der Ausgangswerte führt dabei in endlichen Zeitspannen zu solch großen Abweichungen, dass der Anfangszustand aus dem Endzustand praktisch nicht mehr rekonstruiert werden kann.

1.1 Was ist das Ergodentheorem?

Zum Beschreiben des Verhaltens chaotischer Systeme gibt es spezielle Modelle, von denen eines das sogenannte Ergodentheorem ist, welches in einer leicht abgewandelten Fassung 1887 von Ludwig Boltzmann formuliert wurde. Es besagt, dass sich thermodynamische Systeme in der Regel aus molekularer Ebene chaotisch verhalten, die Trajektorie des Systems im Phasenraum also jedem energetisch möglichen Punkt beliebig nahekommt. Es trifft auch Aussagen darüber, nach welcher Zeit ein Punkt passiert wird, dieser Aspekt ist für die folgenden Ausführungen allerdings irrelevant.

1.2 Meine Fragestellung

Mein Forschungsprojekt betrifft das Ergodentheorem, bzw. seinen Gültigkeitsbereich. Sie lautet:

Welchen Gültigkeitsbereich hat das Ergodentheorem und welche Konsequenzen ergeben sich aus einer beschränkten Gültigkeit?

Damit ist jedoch nicht gemeint, auf welche Systeme das Ergodentheorem anwendbar ist und welche Ausnahmen existieren. Stattdessen möchte ich herausfinden, in welchem Ausmaß das als mathematisches Modell formulierte Theorem in der physikalischen Realität tatsächlich auf die ihm zugrundeliegenden Systeme angewandt werden kann und ob die im Modell nicht berücksichtigten Faktoren seine Anwendbarkeit beeinträchtigen.

2. My Experimental Setup

Um meine Forschungsfrage zu beantworten, musste ich die Faktoren indentifizieren, welche die Gültigkeit des Ergodentheorem potentiell beschränken könnten und einen experimentellen Versuchsaufbau konstruieren, durch den sich die einzelnen Faktoren isoliert betrachten lassen.

Algebraic ModelPhysical Reality
FrictionlessInternal friction and air resistance
Infinite accuracyOptical evaluation
Valid atLimited time span
six-dimensional original formulationfour-dimensional (after revision two-dimensional)
No centrifugal forceCentrifugal force increasing with frequency
Constant conditionsSmall deviations

2.1 Identifizierung relevanter Faktoren

Bevor ich den Versuchsaufbau entwarf, hatte ich mit theoretischen Überlegungen auf Basis umgangreicher Literaturarbeit begonnen. Ich identifizierte sechs potentielle Einflüsse, welche die phsikalische Realität vom mathematischen Modell unterscheiden.

2.2 Auswahl des Forschungsobjekts

Zur Beantwortung der Forschungsfrage unterschied ich zwischen Faktoren, die sich mittels einer Modifizierung des Versuchsaufbaus ausräumen lassen und Faktoren, die ein fundamentaler Teil unserer physikalischen Realität sind. Ich entschloss, die vorerst die Reibung als fundamentalsten Aspekt zu untersuchen und wählte ein System, welches die Quantifizierung und Variierung der Reibung ermöglicht. Ich entschied mich als Forschungsobjekt ein Chaospendel zu wählen, da es eines der einfachsten chaotischen Systeme ist und sich mit geringem Aufwand vermessen, aber auch mathematisch modellieren lässt. Für den Bau eines Chaospendels müssen lediglich zwei Pendelstangen aneinandergekoppelt werden, sodass das zweite Pendel ein chaotisches Verhalten aufweist. Jedoch birgt diese Auswahl auch Nachteile: Zwar erwies sich die Zentrifugalkraft bei den untersuchten Frequenzen als vernachlässigbar, dafür ergibt sich aber ein Problem in der Darstellung. Für den Phasenraum eines Systems mit  Freiheitsgraden gilt nämlich:

Ein Chaospendel hat zwei Freiheitsgrade, folglich ist sein vierdimensional. Es benötigt schließlich vier Werte, um den Zustand eines Chaospendels zu beschreiben: Den Winkel zwischen den Stangen, den Winkel zwischen der oberen Stange und der Aufhängung und pro Winkel je eine Winkelgeschwindigkeit. Vierdimensionale Phasenräume zu erstellen, ist jedoch eine erhebliche mathematische Herausforderung, die ich nicht bewältigen konnte.

2.3 Modifizierung des Aufbaus

Um dieses Problem zu lösen, modifizierte ich das Chaospendel. Ich baute einen Schrittmotor ein, der das obere Pendel mit einer konstanten Geschwindigkeit antreibt. Auf diese Weise wird die Rückkopplung zwischen den Pendeln unterbunden, wodurch der obere Winkel und die zugehörige Winkelgeschwindigkeit irrelevant werden. Das Pendel hat dadurch nur noch einen Freiheitsgrad und folglich einen zweidimensionalen Phasenraum. Es war allerdings fraglich, ob das modifizierte Pendel überhaupt noch in der Lage ist, chaotisches Verhalten zu erzeugen. Daher überprüfte ich dies, bevor ich mit reibungsspezifischen Messungen begann. Ich variierte die Anregungsfrequenz und studierte gängige Literatur über Phasenräume. Anschließend befestigte ich einen Farbpunkt am zweiten Pendel und maß mittels einer Videokamera und eines Auswertungsprogramms (siehe „Supplementary Material“) dessen Position. Durch einfache Trigonometrie konnte ich aus den Positionen den Winkel berechnen:

Ich musste lediglich den vorherigen Winkel vom aktuellen Winkel subtrahieren und das Ergebnis dann durch den Zeitschritt teilen, um eine Winkelgeschwindigkeit zu erhalten, die ich dann gegen dein Winkel auftrug und einen Phasenraum erhielt.

Im Phasenraum ließ sich eindeutig das sogenannte Feigenbaum-Szenario beobachten, kleine Störungen lassen eine zweite Rotationsperiode entstehen, die sich mit jedem Umlauf etwas weiter verschiebt. Schließlich beeinflussen sich die Perioden gegenseitig, wodurch das Chaos beginnt. Ich fand zudem heraus, dass dies erst bei relativ hohen Frequenzen geschieht, bei geringen Frequenzen nähert sich die Trajektorie der typischen Kreisbahn eines einfachen Pendels an. Dadurch konnte ich die Tauglichkeit meines Aufbaus bestätigen und zudem den Frequenzbereich ermitteln, der chaotisches Verhalten erzeugt.

3. Measuring Results

Schließlich begann ich mit einer einjährigen Messreihe, um herauszufinden, welchen Einfluss eine Veränderung der Reibung auf chaotisches Verhalten und letztlich auch die Gültigkeit des Ergodentheorems hat. Bevor ich jedoch mit der experimentellen Bestätigung begann, entwickelte ich ein Verfahren, um den Einfluss der Reibung

3.1 Variierung der Reibung

Anstatt Öle verschiedener Viskosität zur Veränderung der Reibung zu nutzen, entschied ich mich für die einfachere Methode, den Luftwiderstand zu variieren, indem ich in Bewegungsrichtung des Pendels Flächen verschiedener Größe montierte. Durch das chaotische Verhalten war nicht sicher, ob eine Proportionalität zwischen der Fläche und der resultierenden Dämpfung besteht. Ich wandte eine mathematisch-experimentelle Methode an, um einen Reibungsfaktor zu definieren. Zunächst lenkte ich das Pendel aus und erhielt je nach Fläche eine mehr oder weniger stark gedämpte Sinusschwingung. Anhand der Steile der Linie, die sich ergibt, wenn man die jeweiligen Amplituden verbindet, lässt sich der Dämpfungsfaktor ableiten. Dafür müssen lediglich die höchste Amplitude zu Beginn für , die Zeit für  und die geringere Amplitude nach Verstreichen der untersuchten Zeitspanne für  eingesetzt werden.

Mittels Termumformung wird zunächst durch  dividiert, wodurch ich

erhalte und dann der natürliche Logarithmus berechnet, wodurch  wegfällt und ich den Dämpfungsfaktor  in Abhängigkeit von der Zeit erhalte:

Diese Prozedur wiederholte ich bei verschiedend großen Flächen und trug die verschiedenen Dämpfungsfaktoren gegen die Flächen auf. Dabei wurde deutlich: Die Reibung ist auch bei chaotischem Verhalten äquivalent zur Dämpfung, es besteht eindeutig eine Proportionalität.

FlächeDämpfungsfaktor
16,68 cm20,145/s
33,36 cm20,178/s
50,04 cm20,204/s
66,72 cm20,305/s
83,40 cm20,497/s
100, 08 cm20,600/s

Damit war ich nun in der Lage, Reibung gezielt und reproduzierbar zu variieren.

3.2 Untersuchung der Reibung

Ich begann mit einer sehr simplen Messung. Ohne die Reibung künstlich zu erhöhen, machte ich mir die Reibung zwischen den Pendelstangen zunutze und beobachtete ihre Wirkung über lange Zeiträume in der Größenordnung einiger Tage. Das Ergebnis ist eindeutig:

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass Reibung das chaotische Verhalten ausbremst, indem es den Übergang in einen periodischen Zustand herbeiführt. Eine künstliche Erhöhung der Reibung beschleunigt diesen Vorgang, eine Erhöhung der Frequenz verlangsamt ihn. Dieses Ergebnis bestätigte meine Vermutung. Allerdings gab es auch eine Überraschung, denn bei höherer Reibung entstand manchmal plötzlich gar kein Chaos mehr. Erst als ich die Frequenz weiter erhöhte, trat wieder ein Feigenbaum-Szenario und letzlich das Chaos ein. Die Reibung beeinflusst das Chaos also auf zwei verschiedene weisen:

  1. Sie führt zu einem schnelleren Übergang in einen periodischen Zustand.
  2. Sie verschieb die Frequenz, ab der das chaotische Verhalten eintritt nach hinten.

Diese Erkenntnis war höchst unerwartet. Doch es wurde noch seltsamer: Obwohl die Dämpfung sich völlig proportional zur Reibung verhält (siehe Tab.2 und Fig.3), wirkt sich die Dämpfung wiederum keineswegs proportional auf die Chaoseintrittsfrequenz aus.

DämpfungsfaktorChaoseintrittsfrequenz
0,145/s4,6370 rad/s
0,178/s4,6496 rad/s
0,204/s4,6684 rad/s
0,305/s4,6873 rad/s
0,497/s4,7250 rad/s
0,600/s4,7501 rad/s

Es zeigt sich also, dass die Reibung zunächst recht proportional wirkt, es aber einen Bereich gibt, in dem sich die Reibung sehr sensibel auf die Chaoseintrittsfrequenz auswirkt. Dann verharrt die Chaoseintrittsfrequenz auf einem Plateu, der Einfluss der Reibung wird null.

3.3 Interpretation der Ergebnisse

Was bedeutet das für die Gültigkeit des Ergodentheorems? Dadurch, dass Reibung das chaotische Verhalten ausbremst, ist das Ergodentheorem in der Regel nicht erfüllt, schließlich ist die Halbwertszeit des Chaos so begrenzt, dass niemals jeder energetisch mögliche Punkt passiert wird. Da der Einfluss der Reibung jedoch nicht ewig wächst, sondern irgendwann einen Maximalwert erreicht, die Anregungsfrequenz aber weiter erhöht werden kann, ist das Ergodentheorem bei hohen Frequenzen zumindest annähernd erfüllt. Eine uneingeschränkte Gültigkeit liegt allerdings nicht vor, das Ergodentheorem bleibt ein mathematisches Modell mit begrenzter Anwendbarkeit in der Realität.

Sommer 2016: Als Grundschüler gehe ich auf Empfehlung meiner Autismus-Therapeutin mit meiner Mama das erste Mal ins Schülerforschungszentrum Nordhessen. Es ist alles etwas hektisch und im Laufe des Gesprächs im Büro bekomme ich etwas das Gefühl abgewimmelt zu werden: Als Fünftklässler dürfe man zunächst nur in den KidsClub, der nur dienstags stattfindet. Ich möchte mich erkundigen, welche Themen dort behandelt würden und beginne mit einer Aufzählung der Themen, die mich interessieren: Interpretationen der Quantenmechanik, Inflationäre Kosmologie,… Dabei fällt auch zum ersten Mal das Wort Chaosphysik. Nach meinem Monolog darf ich schließlich mit dem Leiter des Schülerforschungszentrums sprechen und nach der Beantwortung einiger Querfragen, darf ich dann gleich ein eigenes Forschungsprojekt leiten.

Herbst 2016: Bei den letzten Besuchen hielt ich Ausschau nach einem interessanten und realistischen Projekt. Schließlich beschließe ich, mich einem Problem der Chaostheorie zu widmen – ein Projekt, dass noch niemand zum Abschluss gebracht hat und ein vernachlässigtes Forschungsfeld, auf dem es möglich ist, mit verhältnismäßig geringen Mitteln noch neue Entdeckungen zu machen.

Winter 2016: Nach zahlreichen Ideen, von denen ich einige schnell fallengelassen und andere weiterentwickelt habe, steht der Versuchsaufbau fest: Ich nutze ein Chaospendel, durch zwei aneinander gekoppelte Pendel wird dabei eine Rückkopplung erzeugt. Ich baue das Pendel im Treppenhaus auf, lenke es mit Geodreieck aus, beobachte sein Verhalten und notiere es.

Sommer 2017: Ich modifiziere meinen Versuchsaufbau mit dem langfristigen Ziel einen Phasenraum mit zwei Dimensionen erstellen zu können. Dabei treibe ich das innere Pendel durch einen Schrittmotor mit einer konstanten Frequenz an, wodurch dessen Winkel und Winkelgeschwindigkeit irrelevant werden. Mit diesem experimentellen Setup beginne ich eine umfangreiche Messreihe.

Dezember 2018: Die Messreihe ist abgeschlossen, ein Phasenraum konnte bisher allerdings noch nicht erstellt werden. Dennoch reiche ich meine bisherigen Ergebnisse zur Forschung rund um das sogenannte Ergoden-Theorem ein. Das Resultat: Diese Hypothese sollte in der Realität eigentlich nicht uneingeschränkt gelten.

Januar 2019:

März 2019:

Sommer 2020: Die Zusammenarbeit des Schülerforschungszentrums mit Institutionen in der Volksrepublik China sollte an der Teilnahme einiger Teams an der 40.Beijing Youth Science Creation Competition gipfeln. Als uns Anfang des Jahres die Nachricht einer neuartigen Atemwegserkankung in China erreicht hatte, wussten wir noch nicht, dass dies der Beginn einer globalen Katastrophe werden und dass es im Sommer Deutschland sein sollte, dass als Risikogebiet gilt. Die BYSCC soll daher online stattfinden, sodass ich mit der Produktion eines Videos über mein Forschungsprojekt in englischer Sprache und der Erstellung eines Plakats beginne.

Oktober 2020: Auf dem Schülerkongress 2020, der aufgrund der Pandemie online stattfand referierte ich vor über 20 Personen, die zuhause vor ihren Bildschirmen saßen, auf Englisch und Deutsch über mein Forschungsprojekt und anschließend über Kipppunkte im Weltklima. Wenige Wochen später durfte ich den letzten Vortrag online bei Kölle for Future wiederholen.

Dezember 2020: Aufgrund der Pandemie war ich schon lange nicht mehr im Forschungszentrum gewesen. Da es außerdem noch kein Gespräch mit der Jury des BYSCC gab, rechnete ich mit nichts. Dennoch bekam ich per Mail folgende Nachricht:

chaosforschung & chaostheorie 1
CHAOSFORSCHUNG & CHAOSTHEORIE 4

Ich bekam den 1.Platz in der Kategorie Physik und Astronomie verliehen. Ein schöner Abschluss des Jahres 2020.

chaosforschung & chaostheorie 2
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